Tính khoảng cách là một trong số các câu hỏi cơ bản và phổ biến trong mọi bài toán hình học. Vậy có những bài toán nào cần tính khoảng cách và có những công thức tính khoảng cách nào? Hãy cùng babelgraph.org tìm hiểu rõ hơn trong nội dung ngay sau đây.
Các dạng bài tập yêu cầu tính khoảng cách
Một số loại bài tập toán học sẽ yêu cầu người làm tính khoảng cách có thể kể đến bao gồm:
- Bài tập tính khoảng cách giữa hai điểm
- Bài tập tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một đường thẳng
- Bài tập tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng
- Bài tập tính khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng
- Bài tập tính khoảng cách trong không gian khi có thời gian và vận tốc trung bình của một vật
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về cách tính khoảng cách của từng loại bài tập. Bài viết sẽ không đề cập đến lĩnh vực hình học không gian Oxyz.
Tính khoảng cách giữa 2 điểm
Khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài đoạn nối giữa hai điểm đó. Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm là rất nhiều, tùy thuộc vào dạng bài tập và loại bài tập hình học mà người làm đang phải thực hiện.
Tính khoảng cách từ một điểm hoặc một đường thẳng đến một đường thẳng
1.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình vuông góc của nó lên mặt phẳng. Ta phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên đường thẳng. Ví dụ, cho điểm M và đường thẳng d; hình chiếu của M lên d gọi là M’ => khoảng cách giữa M và d là MM’.
Với dạng bài tập này, người làm sẽ phải xác định được đoạn thẳng là khoảng cách giữa điểm và đường thẳng. Sau đó, áp dụng các công thức toán học đã được học từ trước (như định lý Pitago) để tính được khoảng cách.
2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một đường thẳng được xét đến trong các bài toán không gian. Hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.
- Nếu trùng nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 0.
- Nếu cắt nhau, hai đường thẳng không có khoảng cách.
- Nếu song song nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là đoạn vuông góc giữa hai đường thẳng đó.
- Nếu chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Chỉ có duy nhất một đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chung. Phổ biến nhất là các bài tập tính độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể có nhiều phương pháp:
+ Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng (d1 và d2), khi đó độ dài đoạn chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.
- Trường hợp d1 và d2 vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau (nếu xét trên một mặt phẳng):
(1) Chọn mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 tại M
(2) trong mặt phẳng đó kẻ MN vuông góc với d2 tại N => khi đó MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng => độ dài đoạn MN chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.
- Trường hợp d1 và d2 chéo nhau mà không vuông góc với nhau
(1) chọn mặt phẳng chứa d1 và song song với d2
(2) dựng d2′ là hình chiếu vuông góc của d2 xuống mặt phẳng: lấy điểm M thuộc mặt phẳng, dựng đoạn MN ⊥ mặt phẳng => d2′ là đường thẳng đi qua N và song song với d2.
(3) H thuộc d2′ và mặt phẳng; dựng HK //MN. Khi đó HK là đoạn vuôn góc chung và khoảng cách giữa d1 và d2 = HK = MN
Tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng
1. Với bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, người làm phải xác định được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng. Đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng chính là khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng đó. Ví dụ một bài tập đơn giản sau:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD.
SA ⊥ (ABC) => BC ⊥ SA; BC ⊥ AD (như đã tự dựng trước đó) => BC ⊥(SAD) => AH ⊥ BC; AH ⊥ SD (như đã dựng trước đó) => AH ⊥ (SBC) => AD là khoảng cách giữa A và (SBC).
2. Nếu bạn nắm được cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và và đường thẳng, thì việc tính khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng không phải là việc quá khó khăn nữa. Bởi bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hoàn toàn có thể chuyển thành bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có SA=a√6 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
AD//CD⇒AD//(SBC)⇒d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))
Hạ AK vuông góc với BC ta được :
{BC⊥AKBC⊥SA⇒BC⊥(SAK)⇒(SBC)⊥(SAK) và (SBC)∩(SAK)=AK
Hạ AG vuông góc với SK ta có ngay AG⊥(SBC)
Vậy AG là khoảng cácg từ điểm A tới SBC
Trong ΔSAK vuông tại A ta có :
1AG2=1SA2+1AK2=1(a6–√)2+1(a3√2)2=32a2⇒AG=a6–√3
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng có thể quy về tính theo:
- Tính khoảng cách giữa một điểm (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
- Tính khoảng cách giữa một đường thẳng (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
- Tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng
Tính khoảng cách trong không gian khi có thời gian và vận tốc trung bình của một vật
Đây là dạng bài tập thường thấy trong cả môn toán học và vật lý. Đa số các bài toán về khoảng cách có thể giải bằng công thức:
d = savg × t
Trong đó d là khoảng cách, savg là vận tốc trung bình, và t là thời gian.
Ví dụ: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Sau đó đi từ B về A với vận tốc 45 km/giờ. Tính quãng đường AB biết thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút.
Ô tô đi từ A đến B sau đó lại từ B về A nên quãng đường đi và quãng đường về bằng nhau. Quãng đường như nhau nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Bài toán đã cho biết vận tốc khi đi và vận tốc khi về. Dựa vào đó ta có thể xây dựng mối quan hệ giữa thời gian đi và thời gian về rồi từ đó tìm ra đáp số của bài toán.
Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quãng đường AB là : 30 : 45 = 2/3.
=> tỉ số thời gian đi và thời gian về là 3/2.
Thời gian đi từ A đến B là: 40 x 3 = 120 (phút) = 2 (giờ)
Quãng đường AB dài là : 30 x 2 = 60 (km)
Tính khoảng cách là câu hỏi thường thấy trong các bài tập toán từ tiểu học đến trung học phổ thông. Nắm vững các phương pháp & công thức tính khoảng cách sẽ giúp người làm tư duy nhanh hơn khi gặp phải các bài toán hình học.
