Công Thức Tính Khoảng Cách và Các Dạng Bài Tập

Tính khoảng cách từ một điểm hoặc một đường thẳng đến một đường thẳng 

1.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình vuông góc của nó lên mặt phẳng. Ta phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên đường thẳng. Ví dụ, cho điểm M và đường thẳng d; hình chiếu của M lên d gọi là M’ => khoảng cách giữa M và d là MM’.

Với dạng bài tập này, người làm sẽ phải xác định được đoạn thẳng là khoảng cách giữa điểm và đường thẳng. Sau đó, áp dụng các công thức toán học đã được học từ trước (như định lý Pitago) để tính được khoảng cách.

2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một đường thẳng được xét đến trong các bài toán không gian. Hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

• Nếu trùng nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 0.
• Nếu cắt nhau, hai đường thẳng không có khoảng cách.
• Nếu song song nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là đoạn vuông góc giữa hai đường thẳng đó.
• Nếu chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Chỉ có duy nhất một đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chung. Phổ biến nhất là các bài tập tính độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể có nhiều phương pháp:

+ Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng (d1 và d2), khi đó độ dài đoạn chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.

• Trường hợp d1 và d2 vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau (nếu xét trên một mặt phẳng):

(1) Chọn mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 tại M

(2) trong mặt phẳng đó kẻ MN vuông góc với d2 tại N => khi đó MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng => độ dài đoạn MN chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.

• Trường hợp d1 và d2 chéo nhau mà không vuông góc với nhau

(1) chọn mặt phẳng chứa d1 và song song với d2

(2) dựng d2′ là hình chiếu vuông góc của d2 xuống mặt phẳng: lấy điểm M thuộc mặt phẳng, dựng đoạn MN ⊥ mặt phẳng => d2′ là đường thẳng đi qua N và song song với d2.

(3) H thuộc d2′ và mặt phẳng; dựng HK //MN. Khi đó HK là đoạn vuôn góc chung và khoảng cách giữa d1 và d2 = HK = MN

Tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng

1. Với bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, người làm phải xác định được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng. Đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng chính là khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng đó. Ví dụ một bài tập đơn giản sau:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD.

SA ⊥ (ABC) => BC ⊥ SA; BC ⊥ AD (như đã tự dựng trước đó) => BC ⊥(SAD) => AH ⊥ BC; AH ⊥ SD (như đã dựng trước đó) => AH ⊥ (SBC) => AD là khoảng cách giữa A và (SBC).

2. Nếu bạn nắm được cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và và đường thẳng, thì việc tính khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng không phải là việc quá khó khăn nữa. Bởi bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hoàn toàn có thể chuyển thành bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có SA=a√6 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

AD//CD⇒AD//(SBC)⇒d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))
Hạ AK vuông góc với BC ta được :
{BC⊥AKBC⊥SA⇒BC⊥(SAK)⇒(SBC)⊥(SAK) và (SBC)∩(SAK)=AK
Hạ AG vuông góc với SK ta có ngay AG⊥(SBC)
Vậy AG là khoảng cácg từ điểm A tới SBC
Trong ΔSAK vuông tại A ta có :
1AG2=1SA2+1AK2=1(a6–√)2+1(a3√2)2=32a2⇒AG=a6–√3

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng có thể quy về tính theo:
• Tính khoảng cách giữa một điểm (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
• Tính khoảng cách giữa một đường thẳng (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
• Tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng

Cách Tính Khoảng Cách Giữa 2 Điểm Tọa Độ: Bước Đơn Giản Cho Học Sinh