Công Thức Tính Tổng Cấp Số Cộng (Toán Trung Học)

Cấp số cộng là phần kiến thức được đánh giá là khá khó và “khoai” trong chương trình học phổ thông. Hãy đảm bảo bạn đã nắm vững các kiến thức cơ bản về cấp số cộng, trong đó có tính tổng cấp số cộng, để tiến hành giải các bài tập khó hơn.

Cấp số cộng là gì

Nội Dung Bài Viết

Cấp số cộng (tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Tính Tổng Cấp Số Cộng

Nói một cách dễ hiểu hơn, cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng.

Ví dụ: dãy số 3, 5, 7, 9, 11,… là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2.

Cách tính tổng cấp số cộng

Một cấp số cộng có thể có rất nhiều số mà bạn không thể tiến hành cộng thủ công từng số vào nhau được. Chúng ta sẽ phải áp dụng công thức toán học để vừa tiết kiệm thời gian tnsh cấp số cộng, vừa cho ra được kết quả chuẩn xác nhất.

Xem Thêm Bài Viết Tính diện tích đa giác: Công thức và bài tập

Bước 1.

Trước khi tiến hành tính tổng cấp số cộng, bạn phải khẳng định được dãy số đó là một cấp số cộng. Un là cấp số cộng nếu Un + 1 = Un + d với n ∈ N*, d là hằng số.

Ví dụ, dãy số 3, 6, 9, 12, 15 là một cấp số cộng vì:

6 = 3 + 3

9 = 3 + 6

12 = 3 + 9

15 = 12 + 3

Đây là cấp số cộng có công sai d = 4 và số hạng đầu U1 = 3

Bước 2.

Bước tiếp theo, ta cần tính số số hạng trong cấp số cộng. Như dãy số cấp số cộng ở phía trên, ta có thể dễ dàng nhìn thấy có 5 số hạng. Vậy nếu có các dãy số như 2, 4, 6, 8, …. 144, làm thế nào để ta có thể tính được số số hạng?

Khi đó, bạn hãy áp dụng công thức sau: ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Trong đó:

an là số hạng cuối của dãy số

n là số số hạng trong dãy số

a1 là số hạng đầu tiên của dãy số

d là công sai

Như vậy, bạn có thể hoàn toàn tìm được trị giá của n dựa vào các thông số còn lại. Bạn cũng có thể sử dụng công thức như trên để tìm số hạng cuối cùng, biết số số hạng trong dãy số.

Bước 3.

Tính tổng cấp số cộng. Để tính tổng cấp số cộng, ta áp dụng công thức như sau:

${displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+dots +a_{n}={frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}$

Với các cấp số cộng chỉ có vài số hạng, bạn hoàn toàn có thể sử dụng cách cộng thủ công để tính tổng. Tuy nhiên, với các dãy số có hàng chục, hàng trăm số hạng, bạn nên áp dụng các công thức tính tổng cấp số cộng chuẩn như trên.

Xem Thêm Bài Viết #3 Bài Viết Ngôi Nhà Mơ Ước Tiếng Anh Chinh Phục Điểm Tuyệt Đối

Trên đây có 3 công thức khác nhau, và người làm sẽ dựa vào các dữ kiện đầu bài khác nhau mà tiến hành áp dụng công thức phù hợp và nhanh chóng nhất để giải quyết câu hỏi. Có thể chứng minh công thức thứ 3 như sau:

${displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d+dots dots +a_{1}+(n-2)d+a_{1}+(n-1)d}$ ${displaystyle S_{n}=a_{n}-(n-1)d+a_{n}-(n-2)d+...+a_{n}-2d+a_{n}-d+a_{n}}$

${displaystyle Rightarrow 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})}$ ${displaystyle Rightarrow S_{n}={frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$ ${displaystyle Rightarrow S_{n}={frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a₁ với a_n, của a₂ với a_n-1,… Một câu chuyện kể rằng Gauß đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên (5050).

Bài tập áp dụng

Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Ta có:
Sn = n(u1 + un) / 2

d = un−u1 / n−1

⇒ u1 + u8 = 2S8 : 8

u8 − u1 = 7d

⇒ u8 + u1 = 18

u8 − u1 = −14

⇒ u1=16.

Xem thêm: Cách Tính Thể Tích

Cấp số cộng là phần kiến thức khá khó và rắc rối, song một khi đã nắm được tường tận lý thuyết tính tổng cấp số cộng bạn có thể áp dụng vào rất nhiều bài toán khác nhau, cả thực tế lẫn bài tập trên giảng đường. Mong rằng phần kiến thức trong bài viết này là hữu ích với các bạn.